Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité
Graphes et matrices
Exercice 1 : Suites de matrices - 1
On considère deux suites \( (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) et \( (y_n)_{n\in \mathbb{N}} \) définies pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \begin{align} x_{n+1} &= - \dfrac{5}{4}x_n + \dfrac{4}{3}y_n \\ y_{n+1} &= 4x_n + \dfrac{5}{3}y_n \end{align} \quad \text{ avec } x_0 = \dfrac{3}{5} \text{ et } y_0 = \dfrac{1}{2} \] Ces relations peuvent s'écrirent sous la forme matricielle : \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad U_{n+1} = A\times U_n \text{ où } U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} \]
Déterminer la matrice \( A \).
Déterminer la matrice \( U_0 \).
Exprimer \( U_{ 8 } \) en fonction de \( A \) et \( U_{ 4 } \).
Determiner les valeurs de \( x_{1} \) et \( y_{1} \).
On donnera le résultat sous la forme d'un couple \( (a;b) \) où \(a \) et \( b \) sont
respectivement les valeurs de \( x_{1} \) et \( y_{1} \).
Exercice 2 : Donner le type d'un matrice
Quel est le type de la matrice \( \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \) ?
On cochera toutes les réponses valides.
- A.La matrice \( M \) est une matrice ligne.
- B.La matrice \( M \) est une matrice colonne.
- C.La matrice \( M \) est une matrice carrée.
- D.La matrice \( M \) est une matrice diagonale.
- E.La matrice \( M \) est la matrice identité.
On cochera toutes les réponses valides.
Exercice 3 : Vocabulaire graphe orienté (ordre d'un graphe, graphe simple, sommets adjacents)
On considère le graphe orienté ci-dessous.
Quel est l'ordre de ce graphe ?
Ce graphe est-il simple ?
Les sommets \( A \) et \( B \) sont-ils adjacents ?
Exercice 4 : Multiplication de matrices (2x2)
Soient 2 matrices, \(A = \begin{pmatrix}7 & 2\\1 & 1\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}6 & 8\\-1 & -8\end{pmatrix}\).
Calculer \( A \times B \).
Calculer \( A \times B \).
Exercice 5 : Addition de matrices (2x2, avec valeurs littérales)
Soient 2 matrices, \(A = \begin{pmatrix}9 & y\\-9 & -9\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}-7 & 3\\0 & x\end{pmatrix}\).
Calculer \( A + B \).
Calculer \( A + B \).